Question

15．如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．
（1）求证：AC=AB；
（2）若线段AB、DE的延长线交于点F，⊙O的半径为2，AD=2+$\sqrt{3}$，求弧BE和BF、EF围成的部分的面积S的值．

Answer 1

分析 （1）连接OE，AE．只要证明AE⊥BC，EC=BE即可；
（2）作OM⊥AC于M．由四边形OEDM是矩形，推出OE=DM=2，由AD=2+$\sqrt{3}$，推出AM=$\sqrt{3}$，在Rt△AOM中，cosA=$\frac{AM}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，推出∠A=30°，在Rt△OEF中，EF=OE•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，根据弧BE和BF、EF围成的部分的面积S=S_△OEF-S_扇形OEB计算即可；

解答 （1）证明：连接OE，AE．
∵DF是⊙O的切线，
∴OE⊥DF，
∵AC⊥DF，
∴OE∥AC，
∵OA=OB，
∴EC=EB，
∵AE⊥BC，
∴AC=AB．

（2）解：作OM⊥AC于M．
∵∠OMD=∠MDE=∠OED=90°，
∴四边形OEDM是矩形，
∴OE=DM=2，
∵AD=2+$\sqrt{3}$，
∴AM=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOM中，cosA=$\frac{AM}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A=30°，
∵OE∥AC，
∴∠EOF=30°，
在Rt△OEF中，EF=OE•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴弧BE和BF、EF围成的部分的面积S=S_△OEF-S_扇形OEB=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{30•π•2}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{3}$π．

点评 本题考查切线的性质、扇形的面积公式、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．