Question

5．如图，直线y=mx+3与x轴、y轴交于点A、点B，直线CD与x轴交于点D，与y轴交于点C（0，2），与直线AB交于点E，点E的坐标为（-$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{3}$）．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点P是直线AB上的点，过点P作PQ∥y轴交直线CD于点Q，当PQ=2时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点C、E的坐标利用待定系数法，即可求出直线CD的解析式；
（2）根据点E的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的解析式，设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a+2），根据PQ=2即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出a值，将其代入点P的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）设直线CD的解析式为y=kx+b，
将C（0，2）、E（-$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{3}$）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-\frac{2}{3}k+b=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
（2）∵点E（-$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{3}$）在直线AB上，
∴$\frac{7}{3}$=-$\frac{2}{3}$m+3，
解得：m=1，
∴直线AB的解析式为y=x+3．
设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a+2），
∵PQ=2，
∴|a+3-（-$\frac{1}{2}$a+2）|=2，
解得：a₁=-2，a₂=$\frac{2}{3}$，
∴点P的坐标为（-2，1）或（$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{3}$）．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、解含绝对值符号的一元一次方程以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点C、E的坐标利用待定系数法，求出直线CD的解析式；（2）根据PQ=2列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．