Question

7．把△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得到△AB′C′，即如图，∠BAB′=θ，$\frac{AB′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{AC′}{AC}$=n，我们将这种变换记为[θ，n]．△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，那么θ=72°，n=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB²=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得答案．

解答 解：∵四边形ABB′C′是平行四边形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°，
∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB²=CB•B′B=CB•（BC+CB′），而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB²=1•（1+AB），
∴AB=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵AB＞0，
∴n=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：72°，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质以及平行四边形的性质，注意数形结合思想与方程思想的应用．