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如图,已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙Ol的弦AC,连接CB并延长交⊙O2于点D,连AD.若∠CAB=∠D.
(1)求证:AC是⊙O2的切线;
(2)若AB:AD=1:2,CD=6,求AC的长.

【答案】分析:(1)连A02并延长交⊙O2于E,连BE,易得Rt△ABE,根据角相等的关系转化可得∠CAE=90°,即AC⊥AO2故AC是⊙O2的切线.
(2)易得△ACB∽△DCA,可得比例关系,代入数据AB:AD=1:2,CD=6,可得答案.
解答:(1)证明:连A02并延长交⊙O2于E,连BE,(1分)
∵∠ABE=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵∠CAB=∠D,
∴∠BAE+∠CAB=90°.
∴∠CAE=90°,即AC⊥AO2
故AC是⊙O2的切线.

(2)解:△ACB与△DCA中,
∵∠C=∠C,∠CAB=∠D,
∴△ACB∽△DCA.
∴AC=×CD=3.
点评:本题考查常见的几何题型,包括切线的判定、线段长度的求法,要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题.
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