Question

如图，已知⊙O_l与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O_l的弦AC，连接CB并延长交⊙O₂于点D，连AD．若∠CAB=∠D．
（1）求证：AC是⊙O₂的切线；
（2）若AB：AD=1：2，CD=6，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）连A0₂并延长交⊙O₂于E，连BE，易得Rt△ABE，根据角相等的关系转化可得∠CAE=90°，即AC⊥AO₂故AC是⊙O₂的切线．
（2）易得△ACB∽△DCA，可得比例关系，代入数据AB：AD=1：2，CD=6，可得答案．

解答：（1）证明：连A0₂并延长交⊙O₂于E，连BE，（1分）
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°．
∵∠CAB=∠D，
∴∠BAE+∠CAB=90°．
∴∠CAE=90°，即AC⊥AO₂．
故AC是⊙O₂的切线．

（2）解：△ACB与△DCA中，
∵∠C=∠C，∠CAB=∠D，
∴△ACB∽△DCA．
∴AC=

AB

AD

×CD=3．

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定、线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．