Question

【题目】如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）

（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2；

（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；

（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．

①请写出C、D两点的坐标；

②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）能，见解析；（3）①C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）；②符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（﹣2，0）、（﹣，0）

【解析】

（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明；

（2）根据四边形ABCD的面积的两种表示方法即可证明；

（3）①根据翻折的性质和勾股定理即可求解；

②根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可．

解：（1）∵S梯形ABCD=

S梯形ABCD=

．

（2）连接，

如图：

S四边形ABCD=，

S四边形ABCD=，

，

．

（3）①设，则，又，

根据翻折可知：

，，

．

在中，根据勾股定理，得

，

解得．

，．

答：、两点的坐标为，．

②如图：

当点在轴正半轴上时，

，

设，则，解得，

，

，；

，，，

，；

当点在轴负半轴上时，

，，

；

，，

，

，．

∴符合条件的所有点的坐标为：，、，、、，．