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【题目】如图,直角ABC中,BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BFAD分别交AD于E,AC于F.

(1)如图1,若BD=BA,求证:ABE≌△DBE;

(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:GM=2MC;AG2=AFAC.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;证明见解析

【解析】

试题分析:(1)根据全等三角形的判定定理即可得到结论;

(2)过G作GHAD交BC于H,由AG=BG,得到BH=DH,根据已知条件设DC=1,BD=4,得到BH=DH=2,根据平行线分线段成比例定理得到,求得GM=2MC;

过C作CNAD交AD的延长线于N,则CNAG,根据相似三角形的性质得到,由知GM=2MC,得到2NC=AG,根据相似三角形的性质得到,等量代换得到,于是得到结论.

试题解析:(1)在RtABE和RtDBE中,BA=BD,BE=BE∴△ABE≌△DBE;

(2)过G作GHAD交BC于H,AG=BG,BH=DH,BD=4DC,设DC=1,BD=4,BH=DH=2,GHAD,GM=2MC;

过C作CNAC交AD的延长线于N,则CNAG,∴△AGM∽△NCM,,由知GM=2MC,2NC=AG,∵∠BAC=AEB=90°,∴∠ABF=CAN=90°﹣BAE,∴△ACN∽△BAF,AB=AG,2CNAG=AFAC,AG2=AFAC.

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