Question

16．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，连接AD，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求线段EF的长？

Answer 1

分析 （1）首先连接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，从而可证：△AED≌△CFD；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的值求出．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
又∵AD为△ABC的中线，
∴AD=DC=DB．AD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=45°，
∵∠EDA+∠ADF=90°，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠CDF，在△AED与△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDA=∠CDF}\\{AD=CD}\\{∠EAD=∠C}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA）．

（2）解：由（1）△AED≌△CFD得：
∴AE=FC=5，
同理：AF=BE=12，
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=5²+12²=169．
∴EF=13．

点评 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．