Question

18．如图①，直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l₂：y=kx-6交于点C（4，2）．
（1）求A、B两点坐标及k、b的值；
（2）如图②，在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l₂于点F，过E、F分别作EH⊥y轴，FG⊥y轴，垂足分别为H、G，设点E的横坐标为m，当m为何值时，矩形EFGH的面积为$\frac{15}{2}$；
（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+b与直线l₂：y=kx-6交于点C（4，2），可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×4+b=2}\\{4k-6=2}\end{array}\right.$，求出k、b的值各是多少；然后根据y=-$\frac{1}{2}$x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，求出A、B两点的坐标各是多少即可．
（2）首先根据点E是直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+4上的一点，点F是直线l₂：y=2x-6上的一点，求出点E、点F的坐标各是多少；然后根据矩形EFGH的面积为$\frac{15}{2}$，求出m的值是多少即可．
（3）在平面直角坐标系中存在点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．根据题意，分三种情况：①当PA=PB时；②当BP=BA时；③当AB=AP时；然后根据菱形的性质，求出所有符合条件的Q点坐标即可．

解答 解：（1）∵直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+b与直线l₂：y=kx-6交于点C（4，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×4+b=2}\\{4k-6=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∵y=-$\frac{1}{2}$x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A点的坐标是（8，0），B点的坐标是（0，4）．

（2）∵EF∥y轴，点E的横坐标为m，
∴点F的横坐标也为m，
∵点E是直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+4上的一点，
∴点E的坐标是（m，-$\frac{1}{2}$m+4），
∵点F是直线l₂：y=2x-6上的一点，
∴点F的坐标是（m，2m-6），
∵矩形EFGH的面积为$\frac{15}{2}$，
∴[（-$\frac{1}{2}$m+4）-（2m-6）]×m=$\frac{15}{2}$，
∴$-\frac{5}{2}$m²+10m=$\frac{15}{2}$，
解得m=1或m=3，
即当m为1或3时，矩形EFGH的面积为$\frac{15}{2}$．

（3）在平面直角坐标系中存在点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．
①如图1，

当PA=PB时，
设OP=a，
则PA=PB=8-a，
在Rt△POB中，
a²+4²=（8-a）²，
解得a=3，
∴BQ=PA=8-3=5，
∴点Q的坐标是（5，4）．

②如图2，

当BP=BA时，
∵PA⊥QB，OP=OA=8，
∴点Q、B关于x轴对称，
∵点B的坐标是（0，4），
∴点Q的坐标是（0，-4）．

③如图3，图4，
，
当AB=AP时，
∵OA=8，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}{+4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴BQ=4$\sqrt{5}$，
∴点Q的坐标是（4$\sqrt{5}$，4）或（-4$\sqrt{5}$，4）．
综上，可得在平面直角坐标系中存在点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形，符合条件的Q点坐标为（5，4）、（0，-4）、（4$\sqrt{5}$，4）或（-4$\sqrt{5}$，4）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．