Question

已知，在△ABC中，∠ACB是锐角，D是线段CB延长线上一点，以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．

（1）如图1，若△ABC为等边三角形时，求证：∠DCE=60°；
（2）如图2，若△ABC不是等边三角形，BC＞AC．试问当∠ACB满足什么条件时，能使∠DCE=60°？并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）由△ABC和△ADE是等边三角形可以得出AB=BC=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°，得出∠ABD=120°，由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE=120°，就可以得出结论；
（2）当∠ACB=60°时，如图2，在CD上取一点F使AF=AC，就可以得出△AFC是等边三角形，就可以得出△AFD≌△ACE，就可以得出∠AFD=∠ACE=120°，就可以得出结论．

解答：证明：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE．
∴∠ABD=120°，∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE
∴∠DAB=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

AB=AE ∠DAB=∠CAE AB=AC

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE=∠ABD=120°．
∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=120°-60°=60°；
（2）当∠ACB=60°时，∠DCE=60°．
理由：如图2，在线段CB上截取CF=AC，连接AF．
∵∠ACB=60°，
∴△AFC是等边三角形，
∴AF=CF=AC，∠CAF=∠ACF=∠AFC=60°，
∴∠AFD=120°．
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°．
∴∠DAE=∠CAF，
∴∠DAE-∠FAE=∠CAF-∠FAE，
∴∠DAF=∠CAE．
在△AFD和△ACE中

AF=AC ∠DAF=∠CAE AD=AE

，
∴△AFD≌△ACE（SAS），
∴∠AFD=∠ACE=120°，
∴∠DCE=60°

点评：本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，平角的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．