Question

已知：关于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）
（1）求证：方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值．
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是关于m的函数，且y=7x₁-mx₂，求这个函数的解析式；并求当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤3m．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：证明题

分析：（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）²，由m＞0，得到△＞0，根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，再利用求根公式得到x=

3m+2±(m+2)

2m

，可得到方程有一个根为1，于是得到方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值．
（2）解方程得到x₁=1，x₂=2+

2

m

，所以y=7-m（2+

2

m

）=-2m+5，然后解不等式-2m+5≤3m．

解答：（1）证明：△=（3m+2）²-4m•（2m+2）
=m²+4m+4
=（m+2）²，
∵m＞0，
∴（m+2）²＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵x=

3m+2±(m+2)

2m

，
∴方程有一个根为1，
∴方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值．
（2）解：∵x=

3m+2±(m+2)

2m

，
∴x₁=1，x₂=2+

2

m

，
∴y=7x₁-mx₂
=7-m（2+

2

m

）
=-2m+5，
当y≤3m，即-2m+5≤3m，
∴m≥1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．