Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最低点的纵坐标为-4，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，若△ABC的外接圆⊙O₁交y轴不同于点C的点D，且CD=AB，求tan∠ACB的值；
（3）如图2，设⊙O₁的弦DE∥x轴，在x轴上是否存在点F，使△OCF与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，可得函数对称轴方程，又因为函数最低点的纵坐标为-4，所以可求的抛物线顶点坐标，设出抛物线顶点式，利用待定系数法解答即可；
（2）作出辅助线，过点O₁作O₁P⊥x轴于P，连接O₁A，构造有一角∠AO₁P与∠ACB相等的直角三角形，并求出相应边长，根据正切函数定义解答；
（3）①由（2）中结论，直线CF₁过C（0，5），O（3，3），可求出CF₁的解析式，易得F₁的坐标；
②根据对称性，由①可以求出x轴上另一点F₂（-

15

2

，0）．
③④△OCF₃与△DEC时，根据相似三角形的性质求出OF₃的横坐标．

解答：解：（1）因为抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，
所以二次函数的对称轴为x=

1+5

2

=3，
因为其最低点的纵坐标为-4，
故顶点坐标为（3，-4）．
设解析式为
y=a（x-3）²-4；
将A（1，0）代入解析式得a（1-3）²-4=0，
即a=1，
解析式为y=（x-3）²-4，
化为一般式得抛物线的函数解析式为：y=x²-6x+5；（本小题3分）

（2）tan∠ACB=

2

3

．
过点O₁作O₁P⊥x轴于P，连接O₁A，
由抛物线与圆的对称性可知O₁P所在的直线是抛物线的对称轴．
故OP=3，AP=OP-OA=2，由CD=AB得：CD=AB=4
过点O₁作O₁Q⊥y轴于Q，由垂径定理得：DQ=CQ=2，O₁P=OQ=OC-CQ=3，
故tan∠ACB=tan∠AO₁P=

AP

O1P

=

2

3

；（本小题3分）

（3）①设CE交x轴于F₁，
因为DE∥AB，所以∠DEC=∠OFC，∠COF₁=∠CDE，
所以△OCF₁∽△DCE．
直线CF₁过C（0，5），O（3，3），
得其解析式为y=-

2

3

x+5；
当y=0时，得x=

15

2

，所以F₁（

15

2

，0）．
②△OCF₂∽△DCE时，根据对称性，由①可以求出x轴上另一点F₂（-

15

2

，0）．
③△OCF₃∽△DEC时，

OF3

DC

=

CF3

CE

，
即

OF3

4

=

52+OF32

2 13

，
两边平方得OF₃=

10

3

．
存在点F，点F的坐标分别为：
F₁（

15

2

，0）、F₂（-

15

2

，0）、F₃（

10

3

，0）、F₄（-

10

3

，0）．
（适当写出过程，每求出一个点得1分）

点评：此题综合考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和圆周角与圆心角的关系等基础知识，还结合相似三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的难度．