Question

（2013•乐清市模拟）如图，等腰Rt△ABO的斜边OB在x轴上，O是坐标原点，点A在第一象限内，BO=2，点C（t，0）是线段OB上一动点（不与O，B重合），△OAC的外接圆⊙P与y轴的另一交点为D．
（1）求证：OD=BC；
（2）当t为何值时，线段CD长度最小，并求出最小值；
（3）过点A作⊙P的切线分别交x轴、y轴于E，F，
①求证：OD•OE=OC•OF；
②设W=AE•AF，探索W的值是否随t的改变而改变？若是，则用含t的代数式表示W，并求W的取值范围；若不是，则求W的值．

Answer 1

分析：（1）连结AD，根据等腰直角三角形性质得到OA=OB，∠AOB=∠ABO=45°，则∠AOD=45°，在根据圆内接四边形的性质得到∠ACB=∠ADO，则可根据“AAS”判断△AOD≌△ABC，所以OD=BC；
（2）先表示出OC=t，BC=2-t（0＜t＜2），则OD=BC=2-t，再根据勾股定理得到CD=

OC2+OD2

=

t2+(2-t)2

，然后利用二次函数的性质求CD的最小值；
（3）①根据切线的性质得到PA⊥EF，再根据圆周角定理得到∠APD=2∠AOD=90°，即PA⊥DC，所以DC∥EF，由此利用平行线分线段成比例定理得到
OD：OF=OC：OE，然后根据比例的性质得OD•OE=OC•OF；
②作AH⊥OB于H，则AH=OH=1，设OE=x，则EC=x-t，HE=x-1，根据切割线定理得到EA²=EC•EO=（x-t）•x，再根据勾股定理得到EA²=AH²+HE²，则x（x-t）=1+（x-1）²，解得OE=

2

2-t

，由OD：OF=OC：OE得到OF=

2-t

t

OE=

2

t

，再变形W=AE•AF得到W=

(AE+AF)2-AE2-AF2

2

，接着利用勾股定理和切割线定理得到
W=

1

2

（EF²-EC•EO-FD•OF），整理后把OE和OF的值代入得到W=

2t2-4t+4

-t2+2t

，再进行变形得W=

2(t2-2t)+4

-(t2-2t)

=

4

-(t-1)2+1

-2，然后根据二次函数的性质确定W的范围．

解答：（1）证明：连结AD，如图，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠AOB=∠ABO=45°，
∴∠AOD=45°，
在△AOD和△ABC中，

∠ADO=∠ACB ∠AOD=∠ABC AO=AB

，
∴△AOD≌△ABC（AAS），
∴OD=BC；

（2）解：∵BO=2，点C坐标为（t，0）
∴OC=t，BC=2-t（0＜t＜2），
∴OD=BC=2-t，
在RtOCD中，CD=

OC2+OD2

=

t2+(2-t)2

=

2(t-1)2+2

，
当t=1时，CD有最小值，最小值为

2

；

（3）①连结PA，如图，
∵EF为⊙O的切线，
∴PA⊥EF，
∵∠APD=2∠AOD=2×45°=90°，
∴PA⊥DC，
∴DC∥EF，
∴OD：OF=OC：OE，
∴OD•OE=OC•OF；
②W的值随t的改变而改变．
作AH⊥OB于H，如图，
∵△OAB为等腰直角三角形，OB=2，
∴AH=OH=1，
设OE=x，则EC=x-t，HE=x-1，
∵EA²=EC•EO，
∴EA²=（x-t）•x，
∵EA²=AH²+HE²，
∴x（x-t）=1+（x-1）²，解得x=

2

2-t

∴OE=

2

2-t

，
∵OD：OF=OC：OE，
∴OF：OE=（2-t）：t，
∴OF=

2-t

t

OE=

2-t

t

•

2

2-t

=

2

t

，
W=AE•AF=

(AE+AF)2-AE2-AF2

2

=

1

2

（EF²-EC•EO-FD•OF）
=

1

2

{OE²+OF²-（EO-t）•EO-[OF-（2-t）]}
=

1

2

[t•OE+（2-t）•FO]
=

1

2

[t•

2

2-t

+（2-t）•

2

t

]
=

2t2-4t+4

-t2+2t

=

2(t2-2t)+4

-(t2-2t)

=

4

-(t-1)2+1

-2，
∵-（t-1）²+1≤1，
∴W≥2．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练运用圆周角定理、切线长定理、切割线定理和等腰直角三角形的性质；会运用勾股定理、相似比进行几何计算；应用二次函数的最值问题解决代数式的最大值和最小值．