Question

3．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作⊙O的切线DE，分别交BC，AB的延长线于点F，E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若BE=2，∠A=30°，求图中阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）先证明BC∥OD，再由切线的性质得出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）先求出OE=2OD，得出OB=BE=OD=2，DE=2$\sqrt{3}$，求出△ODE的面积和扇形OBD的面积，即可得出阴影部分的面积．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB=BC，OA=OD，
∴∠A=∠C，∠A=∠ODA，
∴∠C=∠ODA，
∴BC∥OD，
又∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC；
（2）解：由（1）得：∠DOE=∠A+∠ODA=60°，
∵BC∥OD，
∴∠EBF=∠DOE=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠E=30°，
∴OE=2OD，
∵OD=OB，
∴OB=BE=OD=2，
∴DE=2$\sqrt{3}$，
∴△ODE的面积=$\frac{1}{2}$OD•DE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
扇形OBD的面积=$\frac{60}{360}π×{2}^{2}$=$\frac{2}{3}π$，
∴阴影部分的面积=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}π$．

点评 本题考查了切线的性质、平行线的判定、含30°角的直角三角形的性质以及三角形和扇形面积的计算；熟练掌握切线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．