Question

已知关于x的一元二次方程x²-8x-k²=0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x₁、x₂为方程的两个实数根，且x₁-2x₂=11，试求方程的两个实数根和k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△=b²-4ac的值大于0即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是8，结合x₁-2x₂=11即可求得方程的两个实根，进而可求k的值．

解答：（1）证明：∵b²-4ac=（-8）²-4×1×（-k²）=64+4k²＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵x₁+x₂=8，（4分）
又∵x₁-2x₂=11，
解方程组

x1+x2=8 x1-2x2=11

，
解得

x1=9 x2=-1

，
将x₂=-1代入原方程得：（-1）²-8×（-1）-k²=0，
解得k=±3．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，根据一元二次方程的根与系数的关系，与x₁-2x₂=11联立即可把求方程的解的问题转化为解方程组的问题．