Question

方程x²-2（m+1）x+m²=0的二根为x₁、x₂，当m满足________时，x₁²+x₂²-x₁x₂有最小值为________．

Answer 1

-4    -12
分析：利用根与系数的关系求出两根之和和两根之积，再把x₁²+x₂²-x₁x₂配方即可求出当m满足何条件时，x₁²+x₂²-x₁x₂有最小值．
解答：∵方程x²-2（m+1）x+m²=0的二根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m²，
∵x₁²+x₂²-x₁x₂=（x1+x2）²-3x₁x₂，
∴4（m+1）²-3m²=（m+4）²-12，
∴当m+4=0即m=-4时，x₁²+x₂²-x₁x₂有最小值为-12．
故答案为-4，-12．
点评：本题考查了根与系数的关系，若二次项系数不为1，则常用以下关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-，x₁x₂=，反过来也成立，即=-（x₁+x₂），=x₁x₂．