Question

1．△ABC，∠ACB=90°，点D在BC上，点E在AD上，∠CEB=90°，∠CED=∠CBA，CE的延长线交AB于点F，连接DF．
（1）如图1，求证：∠EFD=∠DBE；
（2）如图2，若cos∠CAB=$\frac{2}{3}$，DF与BE交于点G，猜想GF与DB之间的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）先根据两角对应相等，判定△ECD∽△BCF，得出$\frac{EC}{BC}$=$\frac{CD}{CF}$，再根据∠FCD=∠BCE，即可得出△ECB∽△DCF，进而得到∠EFD=∠DBE；
（2）先延长BE交AC于点H，判定△HCE∽△HBC，得出HC²=HE•HB，再判定△HAE∽△HBA，得出 HA²=HE•HB，进而得到HC=AH，再根据相似三角形的性质，得出$\frac{DG}{CH}$=$\frac{FG}{AH}$，进而得到DG=FG，再由△DGB∽△CHB得出$\frac{DB}{GF}$=$\frac{CB}{CH}$，最后设AC=2k，则AB=3k，得到BC=$\sqrt{5}$k，CH=$\frac{1}{2}$AC=k，求得$\frac{BC}{CH}$=$\sqrt{5}$，得出$\frac{DB}{GF}$=$\sqrt{5}$，就看得到DB=$\sqrt{5}$GF．

解答 解：（1）如图1，∵∠CED=∠CBA，∠ECD=∠BCF，
∴△ECD∽△BCF，
∴$\frac{EC}{BC}$=$\frac{CD}{CF}$，
∵∠FCD=∠BCE，
∴△ECB∽△DCF，
∴∠EFD=∠DBE；

（2）如图2，延长BE交AC于点H，
∵∠CEB=90°，∠HCB=90°，
∴∠HCE+∠ECB=∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠HCE=∠HBC，
∵∠CHE=∠BHC，
∴△HCE∽△HBC，
∴$\frac{HC}{HB}$=$\frac{HE}{HC}$，
∴HC²=HE•HB，
∵∠EFD=∠DBE=∠ECH，
∴FD∥AC，
∴∠HAE=∠FDE，
∵∠FDE+∠EFD=∠CED，∠FBG+∠EBD=∠CBA，
∴∠FDE=∠EBF，
∴∠HAE=∠EBF，
∵∠EHA=∠AHB，
∴△HAE∽△HBA，
∴$\frac{HA}{HB}$=$\frac{HE}{HA}$，
∴HA²=HE•HB，
∴HC=AH，
∵DF∥HC，
∴△DGB∽△CHB，
∴$\frac{DG}{CH}$=$\frac{GB}{HB}$，
同理可得$\frac{FG}{AH}$=$\frac{GB}{HB}$，
∴$\frac{DG}{CH}$=$\frac{FG}{AH}$，
∴DG=FG，
由△DGB∽△CHB得$\frac{DB}{CB}$=$\frac{DG}{CH}$，即$\frac{DB}{DG}$=$\frac{CB}{CH}$，
∴$\frac{DB}{GF}$=$\frac{CB}{CH}$，
∵∠ACB=90°，cos∠CAB=$\frac{2}{3}$，
设AC=2k，则AB=3k，
∴BC=$\sqrt{5}$k，CH=$\frac{1}{2}$AC=k，
∴$\frac{BC}{CH}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{DB}{GF}$=$\sqrt{5}$，
∴DB=$\sqrt{5}$GF．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．