Question

【题目】如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．

（1）如图1，若∠MON=90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB= °；
（2）如图2，若∠MON=n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；
（3）如图2，若∠MON=n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；
（4）如图3，若∠MON=80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）135；（2）90°+n°；（3）90°-n°；（4）40°

【解析】

（1）由三角形内角和定理得出∠OBA+∠OAB=90°，由角平分线的也得出∠ABC+∠BAC=×90°=45°，再由三角形内角和定理即可得出结果；

（2）由三角形内角和定理和角平分线的也得出∠ABC+∠BAC=90°-n°，再由三角形内角和定理得出∠ACB的度数；

（3）求出∠CBD=90°，同理∠CAD=90°，由四边形内角和求出∠ACB+∠ADB=180°，由（1）知：∠ACB=90°+n°，即可得出结果；

（4）由三角形外角性质得出∠OAB=∠NBA-∠AOB，由角平分线定义得出∠NBA=∠E+∠OAB，∠NBA=∠E+（∠NBA-80°），∠NBA=∠E+∠NBA-40°，即可得出结果．

（1）∵∠MON=90°，

∴∠OBA+∠OAB=90°，

∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，

∴∠ABC+∠BAC=×90°=45°，

∴∠ACB=180°-45°=135°；

故答案为：135；

（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB=180°-∠AOB=180°-n°，

∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，

∴∠ABC+∠BAC=（∠OBA+∠OAB）=（180°-n°），

即∠ABC+∠BAC=90°-n°，

∴∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC）=180°-（90°-n°）=90°+n°；

（3）∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的角平分线，

∴∠ABC=∠OBA，∠ABD=∠NBA，

∠ABC+∠ABD=∠OBA+∠NBA，∠ABC+∠ABD=（∠OBA+∠NBA）=90°，

即∠CBD=90°，

同理：∠CAD=90°，

∵四边形内角和等于360°，

∴∠ACB+∠ADB=360°-90°-90°=180°，

由（1）知：∠ACB=90°+n°，

∴∠ADB=180°-（90°+n°）=90°-n°，

∴∠ACB+∠ADB=180°，∠ADB=90°-n°；

（4）∠E的度数不变，∠E=40°；理由如下：

∵∠NBA=∠AOB+∠OAB，

∴∠OAB=∠NBA-∠AOB，

∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的角平分线，

∴∠BAE=∠OAB，∠CBA=∠NBA，

∠CBA=∠E+∠BAE，即∠NBA=∠E+∠OAB，

∠NBA=∠E+（∠NBA-80°），

∠NBA=∠E+∠NBA-40°，

∴∠E=40°．