【题目】已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图),易证BM+DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图),线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明;
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)分别证明△ABE≌△ADN、△AEM≌△ANM,根据全等三角形的性质解答;
(2)由(1)的证明方法相同,证明即可.
(1)猜想:BM+DN=MN.证明如下:
如图2,在MB的延长线上,截取BE=DN,连接AE.
在△ABE和△ADN中,∵,∴△ABE≌△ADN(SAS),∴AE=AN,∠EAB=∠NAD.
∵∠BAD=90°,∠MAN=45°,∴∠BAM+∠DAN=45°,∴∠EAB+∠BAM=45°,∴∠EAM=∠NAM.
在△AEM和△ANM中,∵,∴△AEM≌△ANM(SAS),∴ME=MN,又ME=BE+BM=BM+DN,∴BM+DN=MN;
(2)DN=MN+BM.证明如下:
如图3,在DC上截取DF=BM,连接AF.
在△ABM和△ADF中,∵,∴△ABM≌△ADF(SAS),∴AM=AF,∠BAM=∠DAF,∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°,即∠MAF=∠BAD=90°.
∵∠MAN=45°,∴∠MAN=∠FAN=45°.
在△MAN和△FAN中,∵,∴△MAN≌△FAN(SAS),∴MN=NF,∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM,∴DN﹣BM=MN,∴DN=MN+BM.
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【题目】如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位, 的三个顶点都在格点上.
(1)在网格中画出向下平移3个单位得到的;
(2)在网格中画出关于直线对称的;
(3)在直线上画一点,使得的值最大.
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【题目】为了抓住梵净山文化艺术节的商机,某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,B种纪念品3件,需要950元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品6件,需要800元.
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元?
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,那么该商店共有几种进货方案?
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元?
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【题目】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案,故又称“龟背图”,中国古代数学史上经常研究这一神话。
⑴现有1,2,3,4,5,6,7,8,9共九个数字,请将它们分别填入图1的九个方格中,使得每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15.
⑵通过研究问题⑴,利用你发现的规律,将3,5,-7,1,7,-3,9,-5,-1
这九个数字分别填入图2的九个方格中,使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等.
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【题目】某城市按以下规定收取每月的水费,用水不超过7吨,按每吨1.5元收费;若超过7吨,未超过部分仍按每吨1.5元收取,而超过部分则按每吨2.3元收费.
(1)如果某用户5月份水费平均为每吨1.6元,那么该用户5月份应交水费多少元?
(2)如果某用户5月份交水费17.4元,那么该用户5月份水费平均每吨多少元?
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【题目】已知:在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠E+∠F=100°,将△DEF如图摆放,使得∠D的两条边分别经过点B和点C.
(1)当将△DEF如图1摆放时,则∠ABD+∠ACD= 度;
(2)当将△DEF如图2摆放时,请求出∠ABD+∠ACD的度数,并说明理由.
(3)能否将△DE摆放到某个位置时,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB?直接写出结论 (填“能”或“不能”)
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,点E,F分别在AD及其延长线上,且CE∥BF,连接BE,CF.
(1)求证:四边形EBFC是菱形;
(2)若BD=4,BE=5,求四边形EBFC的面积.
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【题目】如图,点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合).
(1)如图1,若∠MON=90°,∠OBA、∠OAB的平分线交于点C,则∠ACB= °;
(2)如图2,若∠MON=n°,∠OBA、∠OAB的平分线交于点C,求∠ACB的度数;
(3)如图2,若∠MON=n°,△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D,求∠ACB与∠ADB之间的数量关系,并求出∠ADB的度数;
(4)如图3,若∠MON=80°,BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E.试问:随着点A、B的运动,∠E的大小会变吗?如果不会,求∠E的度数;如果会,请说明理由.
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【题目】如图,已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时30海里的速度向东航行到B处,此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行1.5小时到达小岛C的正南方D点.求船从A到D一共走了多少海里?
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