【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,点E,F分别在AD及其延长线上,且CE∥BF,连接BE,CF.
(1)求证:四边形EBFC是菱形;
(2)若BD=4,BE=5,求四边形EBFC的面积.
【答案】(1)见解析;(2)24.
【解析】
(1)由D是BC边的中点,CE∥BF,利用ASA易证得△BDF≌△CDE,即可得CE=BF,然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,证得四边形BFCE是平行四边形;
由AB=AC,D是BC边的中点,即可得AD⊥BC,又由四边形BFCE是平行四边形,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,即可证得四边形BFCE是菱形.
(2)求出BC、EF即可解决问题;
(1)证明:∵D是BC边的中点,
∴BD=CD,
∵CE∥BF,
∴∠DBF=∠ECD,
在△BDF和△CDE中,
,
∴△BDF≌△CDE(ASA),
∴CE=BF,
又∵CE∥BF,
∴四边形BFCE是平行四边形;
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
又∵四边形BFCE是平行四边形,
∴四边形BFCE是菱形.
(2)解:在Rt△BDE中,BE=5,BD=4,
∴DE==3,
∵四边形BECF是菱形,
∴EF=2DE=6,BC=2BD=8,
∴菱形BECF的面积=×6×8=24.
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【题目】 如图,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.
(1)求证:AC·CD=CP·BP;
(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.
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【题目】如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是( )
A. 2 B. C. D. 2
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【题目】已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图),易证BM+DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图),线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明;
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2.若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”,下图①为点P,Q的“相关矩形”的示意图.
已知点A的坐标为(1,0),
(1)若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;
(2)点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;
(3)若点D的坐标为(4,2),将直线y=2x+b平移,当它与点A,D的“相关矩形”没有公共点时,求出b的取值范围.
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【题目】如图,在ABCD中,AC与BD交于点M,点F在AD上,AF=6cm,BF=12cm,∠FBM=∠CBM,点E是BC的中点,若点P以1cm/s秒的速度从点A出发,沿AD向点F运动;点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发,沿CB向点B运动,点P运动到F点时停止运动,点Q也同时停止运动,当点P运动__秒时,以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
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【题目】抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A.B两点(点A在B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A,B,C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF//DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m:
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.
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