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    13．如图，抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}\sqrt{3}x-\sqrt{3}$交x轴于点A、B，交y轴于点C．
    （1）求该抛物线的对称轴及△ABC的面积．
    （2）如图1，已知点Q（0，$\sqrt{3}$），点P是直线AC下方抛物线上的一动点，连接PQ交直线AC于点K，连接BQ、BK，当点P使得△BQK周长最小时，请求出△BQK周长的最小值和此时点P的横坐标．
    （3）如图2，线段AC水平向右平移得线段FE（点A的对应点是F，点C的对应点是E），将△ACF沿CF翻折得△CFA′，连接A′E，是否存在点F，使得△CEA′是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）根据对称轴：x=$-\frac{b}{2a}$即可求得抛物线的对称轴，然后令x=0得y=-$\sqrt{3}$，所以OC=$\sqrt{3}$，令y=0得：$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}=0$，所以AB=4，利用三角形的面积公式计算即可；
    （2）如图1所示：在Rt△AOC和Rt△OBC中，利用特殊锐角三角函数值可知求得∠ABC=60°，∠BCO=30°，从而得到∠ACB=90°，延长BC至B′使B′C=BC，连接QB′交AC于点K，此时△BQK周长最小，根据轴对称的性质可知点B′的坐标为（-1，-2$\sqrt{3}$），然后可求得直线QB′的解析式为y=3$\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，然后将y=3$\sqrt{3}x+\sqrt{3}$与y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}\sqrt{3}x-\sqrt{3}$，组成方程组可求得点P的坐标，最后在Rt△OBQ和Rt△MB′Q中，利用勾股定理求得QB′与QB长度即可求得△BQK的最小值；
    （3））①如图3所示：延长CF角A′A与点M．在△ACO中，由勾股定理求得：AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．从而得到点A′的坐标为（0，$\sqrt{3}$），然后由中点坐标公式可求得点M的坐标为（$-\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），设直线FC的解析式为y=kx-$\sqrt{3}$，将点M的坐标代入可求得直线FC的解析式为y=-$\sqrt{3}x-\sqrt{3}$，令y=0可解得点F的坐标为（-1，0）；
    ②如图4所示先证明四边形OCEA′为矩形，从而可求得点F是AA′的中点，从而可求得点F的坐标；③如图5所示：由翻折的性质可知：CF⊥AA′，先求得AC的解析式，根据相互垂直的两直线的一次项系数的乘积为-1，可求得CF的解析式，从而可求得点F的坐标；④如图6所示：延长FC交AA′于点N．先求得直线AA′的解析式，根据相互垂直的两直线的一次项系数的乘积为-1，可求得CF的解析式，从而可求得点F的坐标．

    解答 解：（1）对称轴：x=$-\frac{b}{2a}$=-$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=-1，
    令x=0得y=-$\sqrt{3}$，
    所以点C的坐标为（0，-$\sqrt{3}$）．
    令y=0得：$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}=0$，
    解得：x1=-3，x2=1，
    ∴A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）．
    ∴AB=4，OC=$\sqrt{3}$．
    ∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}×AB•OC$=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
    （2）如图1所示：

    在Rt△AOC中，tan∠ACO=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，在Rt△OBC中，tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∴∠ABC=60°，∠BCO=30°．
    ∴∠ACB=90°．
    延长BC至B′使B′C=BC，连接QB′交AC于点K，此时△BQK周长最小，
    ∵点B与点B′与关于AC对称，
    所以点B′的坐标为（-1，-2$\sqrt{3}$），
    设B′Q的解析式为y=kx+b，则
    $\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-2\sqrt{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3\sqrt{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
    所以直线QB′的解析式为y=3$\sqrt{3}x+\sqrt{3}$．
    根据题意得：3$\sqrt{3}x+\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}\sqrt{3}x-\sqrt{3}$，解得：${x}_{1}=\frac{7-\sqrt{73}}{2}$，${x}_{2}=\frac{7+\sqrt{73}}{2}$（舍去），
    将x=$\frac{7-\sqrt{73}}{2}$代入y=3$\sqrt{3}x+\sqrt{3}$得：y=$\frac{23\sqrt{3}-3\sqrt{219}}{2}$．
    ∴点P的坐标为（$\frac{7-\sqrt{73}}{2}$，$\frac{23\sqrt{3}-3\sqrt{219}}{2}$）
    在Rt△OBQ中，QB=$\sqrt{O{Q}^{2}+0{B}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，在Rt△MB′Q中，QB′=$\sqrt{Q{M}^{2}+B′{M}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
    △BQK的周长=QB+QK+KB=QB′+QB=2+2$\sqrt{7}$．
    （3）①如图3所示：延长CF角A′A与点M．

    在△ACO中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
    由翻折的性质可知AC=A′C=2$\sqrt{3}$，
    ∴点A′的坐标为（0，$\sqrt{3}$）．
    ∴点M的坐标为（$-\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
    设直线FC的解析式为y=kx-$\sqrt{3}$，将点M的坐标代入得：-$\frac{3}{2}$k-$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
    解得：k=-$\sqrt{3}$．
    ∴直线FC的解析式为y=-$\sqrt{3}x-\sqrt{3}$．
    令y=0得：-$\sqrt{3}x-\sqrt{3}=0$．
    解得：x=-1．
    ∴点F的坐标为（-1，0）．
    ②如图4所示：

    ∵∠A′EC=90°，
    ∴∠EA′F=∠A′OC=∠A′EC=90°．
    ∴四边形OCEA′是矩形．
    ∴CE=OA′=OA．
    ∴点F是AA′的中点．
    ∴点F的坐标为（0，0）．
    ③如图5所示：当点A、C、A′在同一条直线上时．

    由翻折的性质可知：CF⊥AA′．
    设AC的解析式为y=kx-$\sqrt{3}$，将点A的坐标代入得：-3k-$\sqrt{3}$=0．
    解得：k=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
    ∵CF⊥AC，
    ∴直线CF的解析式为y=$\sqrt{3}x-\sqrt{3}$．
    将y=0代入得：x=1．
    ∴点F的坐标为（1，0）．
    ④如图6所示：延长FC交AA′于点N．

    由翻折的性质可知：CF⊥AA′，AN=A′N，AC=A′C=2$\sqrt{3}$．
    ∴点A′的坐标为（0，-3$\sqrt{3}$）．
    由点A和点A′的坐标可知：点N的坐标为（$-\frac{3}{2}$，$-\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
    设直线CF的解析式为y=kx-$\sqrt{3}$，将点N的坐标代入得：$-\frac{3}{2}k-\sqrt{3}=-\frac{3\sqrt{3}}{3}$．
    解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
    ∴CF的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$．
    令y=0得：$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}=0$．
    解得：x=3．
    ∴点F的坐标为（3，0）．
    综上所述，点F的坐标为（-1，0）或（0，0）或（1，0）或（3，0）．

    点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定、翻折的性质、勾股定理和解一元二次方程等知识点，找出△BQK周长最小和△CEA′是直角三角形的条件，从而画出图形是解题的关键．

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    （1）频数、频率分布表中a=8，b=0.08；
    （2）补全频数分布直方图；
    （3）初赛成绩在94.5-100.5分的四位同学恰好是初一、初二、高一、高二年级各一位，学生处打算从中随机挑选两位同学谈一下决赛前的训练，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一名初中和一名高中同学的概率．

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