Question

2．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B，直线AB的解析式为y=-x+3．
（1）求抛物线解析式；
（2）P为线段OA上一点（不与O、A重合），过P作PQ⊥x轴交抛物线于Q，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MN⊥PM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接QN并延长交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MN∥AE．

Answer 1

分析 （1）求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，过点M作MG⊥x轴于G，NH⊥GM，于H．首先证明N、P、A三点在以M为圆心MA为半径的⊙M上，再根据△NMH≌△MPG，得到NH=MG，HM=PG，即可解决问题．
（3）如图2中，MN∥AE，QM=MA，得EN=QN，利用中点坐标公式，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线AB的解析式为y=-x+3，
∴A（3，0），B（0，3），
∵抛物线y=-x²+bx+c经过A点，B点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3．

（2）如图1中，过点M作MG⊥x轴于G，NH⊥GM，于H．

∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠PAN=45°，
∵∠NMP=90°，
∴∠PAN=$\frac{1}{2}$∠NMP，
∴N、P、A三点在以M为圆心MA为半径的⊙M上，
∴MN=MP，
∵∠NHM=∠PGM=∠NMP=90°，
∴∠NMH+∠PMG=90°，∠PMG+∠MPG=90°，
∴∠NMH=∠MPG，
∴△NMH≌△MPG，
∴NH=MG，HM=PG，
∵P（t，0），
∴Q（t，-t²+2t+3），M（$\frac{3+t}{2}$，$\frac{-{t}^{2}+2t+3}{2}$），
∴PG=MH=$\frac{3+t}{2}$-t=$\frac{3-t}{2}$，HG=$\frac{3-t}{2}$+$\frac{-{t}^{2}+2t+3}{2}$=$\frac{-{t}^{2}+t+6}{2}$，
∴N_y=$\frac{-{t}^{2}+t+6}{2}$，
∵点N在直线AB上，
∴N_y=-N_x+3，
∴N_x=3-$\frac{-{t}^{2}+t+6}{2}$=$\frac{{t}^{2}-t}{2}$（0＜t＜3）．

（3）如图2中，

∵MN∥AE，QM=MA，
∴EN=QN，
∴$\frac{{t}^{2}-t}{2}$=$\frac{t}{2}$，
∴t²-2t=0，
解得t=2或0（舍弃），
∴t=2时，MN∥AE．

点评 本题考查二次函数综合题、圆、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、中点坐标公式等知识，解题关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用圆，解决线段相等问题，属于中考压轴题．