Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D．

（1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数；

（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；

（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数．

Answer 1

．解：

（1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，

∴BA= BP，

∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，.

∴∠BAP=60º，AP= AC，

又∵∠BAC=90°，

∴∠PAC=30º，∠ACP=75º，

∵PD⊥AC于点D，

∴∠DPC=15º．. （2）结论：∠DPC=75º

（3）画图.

过点A作AE⊥BP于E．

∴∠AEB=90º，

∵∠ABP=150°，∴∠1=30º，∠BAE=60º，

又∵BA= BP，

∴∠2=∠3=15º，

∴∠PAE=75º，

∵∠BAC=90°，

∴∠4=75º，

∴∠PAE=∠4，

∵PD⊥AC于点D，

∴∠AEP=∠ADP =90º，

∴△APE≌△APD， ∴AE= AD，

在Rt△ABE中，∠1=30º，∴，

又∵AB=AC，

∴，

∴AD=CD，

又∵∠ADP=∠CDP=90º，

∴△ ADP≌△CDP， ∴∠DCP=∠4=75º，

∴∠DPC=15º 另法：作平行，构造平行四边形．