Question

数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB=BC,∠ABC=60°,∠APC=30°,连接

PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？

经过思考后，部分同学进行了如下的交流：

小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想:

PA²+PC²=PB² .

小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB 后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP′ 分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法.

这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：

（1）如图2，点P在∠ABC的内部，

①PA=4，PC=，PB=     .

②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明.

（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.

	图1		图2

Answer 1

（1）①；……………………………………………………………………………1分

②.   …………………………………………………………2分

证明：作∠PBP′＝∠ABC＝60°，且使BP′＝BP，连接P′C、P′P.  ……………3分

∴∠1＝∠2.

∵AB＝CB，

∴△ABP≌△CBP′.   …………………………4分

∴PA＝P′C，∠A＝∠BCP′.

在四边形ABCP中，

∵∠ABC＝60°，∠APC＝30°，

∴∠A＋∠BCP＝270°.

∴∠BCP′＋∠BCP＝270°.

∴∠PCP′＝360°－(∠BCP′＋∠BCP)＝90°. ……………………………………5分

∵△PBP′是等边三角形.

∴PP′＝PB.

在Rt△PCP′中，.……………………………………………6分

∴.

（2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例：

     如图，当点P在CB的延长线上时，

结论为.

（说明：答案不惟一）

……………………………………………………………………………………………7分