Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+1交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点B，与直线y=﹣ x+1交于点C（4，﹣2）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．
（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1 ， 点A，O，B的对应点分别是点A1 ， O1 ， B1 ， 若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

∵直线y=﹣ x+1交y轴于点B，

∴B（0，1），

∵抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点B和点C（4，﹣2）．

∴ ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+1

（2）

如图1，

∵直线y=﹣ x+1交x轴于点A，

当y=0时，﹣ x+1=0，

x= ，

∴A（ ，0），

∴OA= ，

在Rt△AOB中，

∵OB=1，

∴AB= ，

∴sin∠ABO= ，cos∠ABO= = ，

∵ME∥x轴，

∴∠DEM=∠ABO，

∵以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，

∴∠EDM=90°，

∴DE=MEcos∠DEM= ME，

DM=MEsin∠DEM= ME，

当点E在x轴上时，E和A重合，则m=OA= ，

当x= 时，y=﹣ × + × +1= ；

∴ME= ，

∴DE= = ，DM= = ，

∴△DEM的周长=DE+DM+ME= + + = ；

（3）

由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，

∵O1A1⊥x轴，

∴点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：

①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，

点O1，B1的纵坐标相等，

∴﹣ =﹣ （x+1）2+ （x+1）+1，

解得：x= ，

此时点A1的坐标为（ ， ），

②如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，

点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大 ，

﹣ =﹣ （x+1）2+ （x+1）+1，

解得：x=﹣ ，

此时A1（﹣ ， ），

综上所述，点A1（ ， ）或（﹣ ， ）．

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）如图1，A与E重合，根据直线y=﹣ x+1求得与x轴交点坐标可得OA的长，由勾股定理得AB的长，利用等角的三角函数得：sin∠ABO= ，cos∠ABO= = ，则可得DE和DM的长，根据M的横坐标代入抛物线的解析式可得纵坐标，即ME的长，相加得△DEM的周长；（3）由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，所以点O1 ， A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：①如图2，当点O1 ， B1同时落在抛物线上时，根据点O1 ， B1的纵坐标相等列方程可得结论；②如图3，当点A1 ， B1同时落在抛物线上时，根据点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大 ，列方程可得结论．
【考点精析】利用圆周角定理和旋转的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．