Question

已知抛物线y=-x²+（m-4）x+2m+4与x轴交于点A（x₁，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．若点A关于y轴对称点是点D．
（1）求C、D两点坐标．
（2）求过点B、C、D三点的抛物线的解析式．
（3）若P是（2）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且S_△ABH=24S_△BDP，求直线PH的解析式．

Answer 1

解：（1）∵点B（2，0）在y=-x²+（m-4）x+2m+4上，
∴-4+2（m-4）+2m+4=0，m=2，
∴y=-x²-2x+8，
∴C（0，8），A（-4，0），
∴D（4，0），

（2）设过B、C、D三点的抛物线的解析式为y=a（x-x_B）（x-x_D），
∵B（2，0）C（0，8）D（4，0），
∴y=a（x-2）（x-4），
即8=a（0-2）（0-4），
∴a=1，
∴y=（x-2）（x-4）=x²-6x+8，

（3）y=x²-6x+9-1=（x-3）²-1，
∴P（3，-1），
∴S_△BPD=×2×1，
∴S_△ABH=24，
∴|y_H|=8，
∴y_H=±8，
当y=-8时x²-6x+8=-8无解，
当y=8时x²-6x+8=8，
∴x=0或6，
又∵点H异于点C，
∴H（6，8），
又∵P（3，-1），
∴直线PH的解析式为y=3x-10．
分析：（1）根据点B（2，0）在y=-x²+（m-4）x+2m+4上，代入解析式-4+2（m-4）+2m+4=0m=2，可得出m的值，即可得出答案；
（2）利用交点式得出y=a（x-2）（x-4），进而求出a的值，即可得出答案；
（3）首先求出S_△BDP，=1，进而得出S_△ABH=24，再利用一元二次方程的解法得出即可．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，此题难度不大，主要利用已知画出图形得出是解题关键．