Question

2．如图，已知长方形ABCD中，AD=6，AB=8，P是AD边上的点，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点E上，PE、BE与CD分别交于点O、F，且OD=OE，则AP的长为（　　）

• A． 4.8
• B． 5
• C． 5.2
• D． 5.4

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠A=∠C=∠D=90°，CD=AB=8，BC=AD=6，由折叠的性质得出EP=AP，BE=AB=8，∠E=∠A=90°，由ASA证明△ODP≌△OEF，得出PD=FE，OP=OF，因此DF=EP=AP，设AP=x，则DF=x，FE=PD=6-x，得出CF=CD-DF=8-x，BF=BE-FE=x+2，在Rt△BCF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，CD=AB=8，BC=AD=6，
由折叠的性质得：EP=AP，BE=AB=8，∠E=∠A=90°，
在△ODP和△OEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}&{\;}\\{OD=OE}&{\;}\\{∠DOP=∠EOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ODP≌△OEF（ASA），
∴PD=FE，OP=OF，
∴DF=EP=AP，
设AP=x，则DF=x，FE=PD=6-x，
∴CF=CD-DF=8-x，BF=BE-FE=x+2，
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
即6²+（8-x）²=（x+2）²，
解得：x=4.8；
故选：A．

点评 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形全等进一步得出DF=EP是解决问题的关键．