Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为D，P为AD上的动点，Q在BA的延长线上，且∠CPQ=60°．
（1）如图①，当P与D重合时，求证：PQ=PC；
（2）如图②，当P与A、D不重合时，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）M为BC上的动点，N为AB上的动点，BC=4，直接写出AM+MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）先利用等腰三角形的性质得出∠B=30°，再用三角形的外角得出∠BQP=30°，进而得出BP=PQ，即可；
（2）利用三角形的内角和和线段的垂直平分线判断出BP=QP，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先找出点M，N的位置，利用锐角三角函数先求出AD，进而得出AA'，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，当点P和D重合时，∠CPQ=∠B+∠BQP=60°，
∴∠BQP=60°-∠B=30°，
∴BP=QP，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=BP=PC，
∴PQ=PC，

（2）、（1）中结论仍然成立，
理由：如图②，
连接BP，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BP=PC，∠BPD=∠CPD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，
∴∠APQ=180°-∠DAQ-∠BQP=180°-120°-∠BQP=60°-∠BQP，
∵∠APQ+∠CPQ+∠DPC=180°，
∴∠DPC=180°-∠APQ-∠CPQ=180°-（60°-∠BQP）-60°=60°+∠BQP，
∴∠DBP=90°-∠BPD=90°-∠DPC=90°-（60°+∠BQP）=30°-∠BQP，
∵∠DBP+∠PBQ=30°，
∴∠PBQ=30°-∠DBP=30°-（30°-∠BQP）=∠BQP，
∴BP=PC，
∵BP=PC，
∴PQ=PC；

（3）如图，
作A关于BC的对称点A'，作A'N⊥AB于点N，交BC于点M，则此时AM+MN的最小值，且AM+MN=A'N，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
在Rt△ABD中，AD=BD•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△AA'N中，AA'=2AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∠A'AN=60°，
∴A'N=AA'•tan60°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=4，
即：AM+MN的最小值是4．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，锐角三角函数，解（2）的关键是判断出PB=PQ，解（3）的关键是找出点M，N的位置，是一道中等难度的中考常考题．