Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：直线BC为⊙O的切线；
（3）若BD=5，DC=3，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,作图—复杂作图

专题：证明题

分析：（1）作AD的垂直平分线交AB于点O，然后以点O为圆心、OA为半径作圆即可；
（2）连结OD，如图1，由AD平分∠BAC得到∠BAD=∠CAD，加上∠OAD=∠ODA，所以∠CAD=∠ODA，则可判断OD∥AC，易得∠ODB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（3）先根据平行线分线段成比例定理，由OD∥AC得到

BO

AO

=

BD

CD

=

5

3

，则可设BO=5t，AO=3t，所以OD=3t，利用勾股定理得到BD=4t，则有4t=5，解得t=

5

4

，所以OD=

15

4

，然后证明△BOD∽△BAC，再利用相似比可计算出AC的长．

解答：（1）解：⊙O为所求，如图，

（2）证明：连结OD，如图1，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线；
（3）∵OD∥AC，
∴

BO

AO

=

BD

CD

=

5

3

，
设BO=5t，则AO=3t，
∴OD=3t，
在Rt△BOD中，∵BO=5t，OD=3t，
∴BD=

OB2-OD2

=4t，
∴4t=5，解得t=

5

4

∴OD=

15

4

，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴

OD

AC

=

BD

BC

，即

15 4

AC

=

5

5+3

，
∴AC=6．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了作图和相似三角形的判定与性质．