Question

已知抛物线y=x²-2x-8，完成下列各题：
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）该抛物线与x轴的两个交点．分别为A、B（A在B的左侧）求A、B的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于15？若存在，请求出点C的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据△＞0，即可判定该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）解方程x²-2x-8=0，即可求得x的值，即可求得A，B点坐标；
（3）假设存在点C使得△ABC的面积等于15，则C点纵坐标为5或-5，讨论：①点C纵坐标为5，②点C纵坐标为-5，分别求得x的值，即可解题．

解答：解：（1）当y=0时，x²-2x-8=0，
∵△=4+32=36＞0，
∴该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）当y=0时，x²-2x-8=0，
即：（x+2）（x-4）=0，
∴x=-2或4，
∴点A坐标为（-2，0），点B坐标为（4，0）；
（4）假设存在点C使得△ABC的面积等于15，
∵AB=6，∴点C纵坐标为5或-5，
①点C纵坐标为5，x²-2x-8=5，解得：x=1+

14

或1-

14

，
∴存在点C坐标为（1+

14

，5）、（1-

14

，5）；
②点C纵坐标为-5，x²-2x-8=-5，解得：x=3或-1，
∴存在点C坐标为（3，-5）、（-1，5）；

点评：本题考查了一元二次方程的解，考查了抛物线与x轴交点的判定，考查了三角形面积计算，本题中分类讨论点C坐标为5或-5是解题的关键．