Question

如图，已知双曲线（k为常数）与直线l相交于A、B两点，第一象限内的点M（点M在A的左侧）是双曲线上的一动点，设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点．
（1）若直线l的解析式为，A点的坐标为（a，1），
①求a、k的值；②当AM=2MP时，求点P的坐标．
（2）若AM=m•MP，BM=n•MQ，求m-n的值．

Answer 1

解：（1）①∵A（a，1）在直线上，
∴，
解得a=6
∵A（6，1）在双曲线上，
∴，
解得k=9

②如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点M作MF⊥y轴于F，
则MF∥AE，
则△PMF∽△PAE，
则，即，
解得MF=2
则M_x=2，则，
则点M（2，3）
∵A（6，1）、M（2，3），
∴直线AM的解析式为．
∴点P（0，4）


（2）如图，设点A的横坐标为b，点M的横坐标为t，则点B的横坐标为-b；
过点B作BC⊥y轴于C，过点M作MD⊥AE于D，
∵MD∥y轴，
∴△AMD∽△APE，
∴，即，得①
∵MF∥BC，
∴△MFQ∽△BCQ，
∴，即，得
∴

分析：（1）①由A（a，1）在直线上，得，解得a=6，然后根据A（6，1）在双曲线上解得k=9；
②过点A作AE⊥y轴于E，过点M作MF⊥y轴于F得到MF∥AE后即可证明△PMF∽△PAE，利用相似三角形对应线段的比相等得到MF=2，从而得到点M（2，3），利用待定系数法求得直线AM的解析式即可；
（2）如图，设点A的横坐标为b，点M的横坐标为t，则点B的横坐标为-b；过点B作BC⊥y轴于C，过点M作MD⊥AE于D，根据MD∥y轴得到△AMD∽△APE根据相似三角形对应线段的比相等用b、t表示出m和n，从而求得m-n的值．
点评：此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．