如图.在△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC=6.D为BC的中点．(1)若E.F分别是AB.AC上的点.且AE=CF.求证:△AED≌△CFD,(2)当点F.E分别从C.A两点同时出发.以每秒1个单位长度的速度沿CA.AB运动.到点A.B时停止,设△DEF的面积为y.F点运动的时间为x.求y与x的函数关系式,的条件下.点F.E分别沿CA.AB的延长线继续运动.求此� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2012•桂林）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．
（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；
（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．

分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；
（2）利用S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=9 即可得到y与x之间的函数关系式；
（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S_△ADF=S_△BDE从而得到S_△EDF=S_△EAF+S_△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式．

解答：（1）证明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°
∴AD=BD=DC    （2分）
∵AE=CF∴△AED≌△CFD（SAS）

（2）解：依题意有：FC=AE=x，
∵△AED≌△CFD
∴S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=9
∴S△EDF=S四边形AEDF-S△AEF=9-

(6-x)x=

x2-3x+9
∴y=

x2-3x+9；

（3）解：依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°
∴△ADF≌△BDE
∴S_△ADF=S_△BDE
∴S_△EDF=S_△EAF+S_△ADB
=

(x-6)x+9=

x2-3x+9
∴y=

x2-3x+9．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．

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