Question

【题目】已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y=﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．

（1）B点坐标是 （用含m的代数式表示），∠ABO= °；

（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．

①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

②当时，求m的值．

Answer 1

【答案】（1），30；（2）m=2或3；（3）m=．

【解析】

试题分析：（1）首先求出直线与x轴交点坐标，进而得出答案，再利用锐角三角函数关系得出∠ABO的度数；

（2）①分别利用∠NEB=90°和∠ENB=90°，结合切线的性质得出m的值；

②首先求出NG：EN=，再得出△PHN∽△NGE，再利用相似三角形的性质，进而得出m的值．

试题解析：（1）当y=0，则0=﹣x+m，

解得：x=m，

故B点坐标是（用含m的代数式表示），

∵一次函数y=﹣x+m与y轴交于点（0，m），

∴tan∠ABO==，

∴∠ABO=30°；

故答案为：，30；

（2）①如图①，假设存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形．连接NP

若∠NEB=90°，∵NE是⊙P的切线，

∴∠PNE=90°，

∵∠POE=90°，

∴四边形OPNE是矩形，

∴PN=2，∠APN=90°，

在Rt△APN中，PN=2，∠BAO=60°，

∴PA=1，

∴m=3，

若∠ENB=90°，∵NE是⊙P的切线，

∴∠PNE=90°，

∴点P、N、B三点共线，即点P与点A重合，

∴m=2，

综上可知，m=2或3；

②如图②，连接PN，过点E作，EG⊥AB于G，过点P作，PH⊥AB于H，

则PA=m﹣2，PH=，

∵，∴EB=，EN=EO=，EG=，

∴EG：EN=1：4，∴NG：EN=，

∵∠PNE=90°，∴∠PNH+∠ENG=90°，

∵∠GNE+∠NEG=90°，

∴∠NEG=∠PNH，

∵∠PHN=∠EGN=90°，

∴△PHN∽△NGE，

∴，

∴，

解得：m=．