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【题目】已知:如图1,在平面直角坐标系中,点ABE分别是x轴和y轴上的任意点. BD是∠ABE的平分线,BD的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C.

探究: 1)求∠C的度数.

发现: 2)当点A,点B分别在x轴和y轴的正半轴上移动时,∠C的大小是否发生变化?若不变,请直接写出结论;若发生变化,请求出∠C的变化范围.

应用:(3)如图2在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E310°CF平分∠DCBCF的反向延长线与∠EDC外角的平分线相交于点P,求∠P的度数.

【答案】1)∠C=45°;(2)不变.C=AOB =45° (3) 25°.

【解析】

1)先确定∠ABE与∠OAB的关系,∠ABE=OAB+90°,再根据角平分线和三角形的外角求得∠ACB的度数;

2)设∠DBC=x,∠BAC=y,再根据BC平分∠DBOAC平分∠BAO可知∠CBO=DBC=x,∠OAC=BAC=y.再由∠DBOAOB的外角,∠DBCABC的外角可得出关于xy,∠C的方程组,求出∠C的值即可;

3)延长EDBC相交于点G,易求∠G的度数,由三角形外角的性质可得结论.

1)∵∠ABE=OAB+AOB,∠AOB =90°

∴∠ABE=OAB+90°

BD是∠ABE的平分线,AC平分∠OAB

∴∠ABE=2ABD,∠OAB=2BAC

2ABD=2BAC+90°

∴∠ABD=BAC+45°

又∵∠ABD= BAC +C

∴∠C=45°

2)不变.C=AOB =45°.

理由如下:

设∠DBA=x,∠BAC=y

BD平分∠EBAAC平分∠BAO

∴∠EBD=DBA=x,∠OAC=BAC=y

∵∠EBAAOB的外角,∠DBAABC的外角,

∴∠C=45°

(3) 延长EDBC相交于点G.

在四边形ABGE中,

∵∠G360°(A+∠B+∠E)50°

∴∠P=∠FCD-∠CDP (DCB-∠CDG)

G×50°25°.

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