Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于点E．

（1）求证：AC∥OD；

（2）若OE＝4，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC＝8

【解析】

（1）根据角平分线的性质可得出∠OAC＝2∠OAD，由圆周角定理可得出∠BOD＝2∠BAD，进而可得出∠BOD＝∠OAC，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出AC∥OD；

（2）作OF⊥AC于点F，由垂径定理可得出AF＝AC，由AC∥OD可得出∠DOE＝∠OAF，结合∠DEO＝∠OFA、DO＝OA即可证出△DOE≌△OAF（AAS），再根据全等三角形的性质可得出OE＝AF＝AC，即可得出答案．

（1）证明：∵AD平分∠CAB，

∴∠OAC＝2∠OAD．

∵∠BOD＝2∠BAD，

∴∠BOD＝∠OAC，

∴AC∥OD．

（2）解：作OF⊥AC于点F，如图所示：

则AF＝AC，

∵AC∥OD，

∴∠DOE＝∠OAF．

在△DOE和△OAF中，

∴△DOE≌△OAF（AAS），

∴OE＝AF＝AC，

∴AC＝2OE＝8．