【题目】定义:由两条与x轴有着相同的交点,并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”.如图,抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”,抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M,N(点M在点N的左侧),与y轴的交点分别为A,B且点A的坐标为(0,﹣3),抛物线C2的解析式为y=mx2+4mx﹣12m,(m>0).
(1)请你根据“月牙线”的定义,设计一个开口向下.“月牙线”,直接写出两条抛物线的解析式;
(2)求M,N两点的坐标;
(3)在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P,使得△PAM的面积最大?若存在,求出△PAM的面积的最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)抛物线y=﹣x2+2x+3与抛物线y=﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”;(2)M(﹣6,0),N(2,0);(3)存在,点P的坐标为(﹣3,﹣)时,△PAM的面积有最大值,最大值为.
【解析】
(1)根据定义,只要写出的两个抛物线与x轴有着相同的交点,且a的值为负即可;
(2)在解析式y=mx2+4mx-12m中,令y=0解方程即可求出M,N的横坐标,由此可写出M,N两点的坐标;
(3)先根据“月牙线”的定义,设出抛物线C1的一般式,将A点代入即可求得抛物线C1的解析式,再用含t的代数式表示P点坐标,根据S△PAM=S△PMO+S△PAO-S△AOM即可表示△PAM的面积.可根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时P点坐标.
(1)如图1,
抛物线y=﹣x2+2x+3与抛物线y=﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”(此题答案不唯一);
(2)在抛物线C2的解析式y=mx2+4mx﹣12m中,
当y=0时,mx2+4mx﹣12m=0,
∵m≠0,
∴x2+4x﹣12=0,
解得,x1=﹣6,x2=2,
∵点M在点N的左边,
∴M(﹣6,0),N(2,0);
(3)存在,理由如下:
如图2,连接AM,PO,PM,PA,
∵抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点,并且开口方向相同,
∴可设抛物线C1的解析式y=nx2+4nx﹣12n(n>0),
∵抛物线C1与y轴的交点为A(0,﹣3),
∴﹣12n=﹣3,
∴n=,
∴抛物线C1的解析式为y=x2+x﹣3,
∴可设点P的坐标为(t,t2+t﹣3),
∴S△PAM=S△PMO+S△PAO﹣S△AOM
=×6×(﹣t2﹣t+3)+×3×(﹣t)﹣×6×3
=﹣t2﹣t,
=﹣(t+3)2+,
∵﹣<0,﹣6<t<0,
∴根据二次函数的图象和性质知,当t=﹣3时,即点P的坐标为(﹣3,﹣)时,△PAM的面积有最大值,最大值为.
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【题目】某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
求出每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式;
求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?每天的总成本每件的成本每天的销售量
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【题目】目前,某校九年级同学对“新冠疫情下停课不停学”线上学习的家长进行问卷调查,随机调查了若干名家长对线上学习的态度(态度分为:A.无所谓;B.基本赞成;C.反对;D.赞成).并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了多少名中学生家长;
(2)求出图2中扇形C所对的圆心角度数,并将图1补充完整;
(3)在此次调查活动中,初三(1)班有A1、A2两位家长对线上学习,持基本赞成的态度,初三(2)班有B1、B2两位学生家长对线上学习,也持基本赞成的态度,现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动,用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率.
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【题目】为弘扬泰山文化,某校举办了“泰山诗文大赛”活动,从中随机抽取部分学生的比赛成绩,根据成绩(成绩都高于50分),绘制了如下的统计图表(不完整):
组别 | 分数 | 人数 |
第1组 | 90<x≤100 | 8 |
第2组 | 80<x≤90 | a |
第3组 | 70<x≤80 | 10 |
第4组 | 60<x≤70 | b |
第5组 | 50<x≤60 | 3 |
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求出a,b的值;
(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数;
(3)若该校共有1800名学生,那么成绩高于80分的共有多少人?
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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,AE⊥EF,下列结论:①∠BAE=30°;②△ABE∽△AEF;③CD=3CF;④S△ABE=4S△ECF.其中正确的有_____(填序号).
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【题目】一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图像的顶点
(1)求k,a,c的值;
(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2,求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.
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【题目】已知:在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=30°,点D为BC边上一动点,以AD为边,在AD的右侧作等边三角形ADE.
(1)当AD平分∠BAC时,如图1,四边形ADCE是 形;
(2)过E作EF⊥AC于F,如图2,求证:F为AC的中点;
(3)若AB=2,
①当D为BC的中点时,过点E作EG⊥BC于G,如图3,求EG的长;
②点D从B点运动到C点,则点E所经过路径长为 .(直接写出结果)
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【题目】已知:在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,2)在函数(x<0)的图象上.
(1)求m的值;
(2)过点A作y轴的平行线,直线与直线交于点B,与函数(x<0)的图象交于点C,与轴交于点D.
①当点C是线段BD的中点时,求b的值;
②当BC<BD时,直接写出b的取值范围.
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