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【题目】定义:由两条与x轴有着相同的交点,并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为月牙线.如图,抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的月牙线,抛物线C1与抛物线C2x轴有相同的交点MN(点M在点N的左侧),与y轴的交点分别为AB且点A的坐标为(0,﹣3),抛物线C2的解析式为ymx2+4mx12m,(m0).

1)请你根据月牙线的定义,设计一个开口向下.月牙线,直接写出两条抛物线的解析式;

2)求MN两点的坐标;

3)在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P,使得PAM的面积最大?若存在,求出PAM的面积的最大值;若不存在,说明理由.

【答案】1)抛物线y=﹣x2+2x+3与抛物线y=﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的月牙线;(2M(﹣60),N20);(3)存在,点P的坐标为(﹣3,﹣)时,PAM的面积有最大值,最大值为

【解析】

1)根据定义,只要写出的两个抛物线与x轴有着相同的交点,且a的值为负即可;

2)在解析式y=mx2+4mx-12m中,令y=0解方程即可求出MN的横坐标,由此可写出M,N两点的坐标;

3)先根据月牙线的定义,设出抛物线C1的一般式,将A点代入即可求得抛物线C1的解析式,再用含t的代数式表示P点坐标,根据SPAM=SPMO+SPAO-SAOM即可表示△PAM的面积.可根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时P点坐标.

1)如图1

抛物线y=﹣x2+2x+3与抛物线y=﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的月牙线(此题答案不唯一);

2)在抛物线C2的解析式ymx2+4mx12m中,

y0时,mx2+4mx12m0

m≠0

x2+4x120

解得,x1=﹣6x22

∵点M在点N的左边,

M(﹣60),N20);

3)存在,理由如下:

如图2,连接AMPOPMPA

∵抛物线C1和抛物线C2x轴有着相同的交点,并且开口方向相同,

∴可设抛物线C1的解析式ynx2+4nx12nn0),

∵抛物线C1y轴的交点为A0,﹣3),

∴﹣12n=﹣3

n

∴抛物线C1的解析式为yx2+x3

∴可设点P的坐标为(tt2+t3),

SPAMSPMO+SPAOSAOM

×6×(﹣t2t+3+×3×(﹣t)﹣×6×3

=﹣t2t

=﹣t+32+

∵﹣0,﹣6t0

∴根据二次函数的图象和性质知,当t=﹣3时,即点P的坐标为(﹣3,﹣)时,PAM的面积有最大值,最大值为

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组别

分数

人数

1

90x≤100

8

2

80x≤90

a

3

70x≤80

10

4

60x≤70

b

5

50x≤60

3

请根据以上信息,解答下列问题:

1)求出ab的值;

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