Question

【题目】一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点

（1）求k，a，c的值；

（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.

Answer 1

【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）, W取得最小值7.

【解析】

（1）把（1,2）分别代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为（0,4），可得c=4，然后计算得到a的值；

（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可.

解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，

∴一次函数解析式为：y=-2x+4

又二次函数顶点横坐标为0，

∴顶点坐标为（0,4）

∴c=4

把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2

（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0

∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，

∴W=OA2+BC2=

∴当m=1时，W取得最小值7