Question

如图，△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm²？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm²？说明理由．
（3）如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）设x秒后△PBQ的面积为4cm²，此时BP=（5-x）cm，BQ=2xcm，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；
（2）由（1）得，当△PQB的面积等于7cm²说解方程即可；
（3）设y秒后PQ的长度等于5cm，利用勾股定理得出即可．

解答：解：（1）设x秒后，△PBQ的面积等于4cm²，
则BP=（5-x）cm，BQ=2xcm，
故S_△QPB=

1

2

×PB×BQ=

1

2

×（5-x）×2x=4
解得：x₁=1，x₂=4．
答：1秒或4秒后，△PBQ的面积等于4cm²；

（2）△PQB的面积不能等于7cm²；
理由：由（1）得：S_△QPB=

1

2

×PB×BQ=

1

2

×（5-x）×2x=7
即x²-5x+7=0，
∵b²-4ac=-24＜0，
∴此方程无实数根，
∴△PQB的面积不能等于7cm²；

（3）设y秒后，PQ的长度等于5cm，根据题意可得：
PB²+BQ²=25，
即（5-y）²+4y²=25，
解得：y₁=0（不合题意舍去），y₂=2，
故2秒后，PQ的长度等于5cm．

点评：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，三角形的面积公式的运用，解答时根据三角形的面积=4建立方程是关键．