Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，角平分线BD、CE交于O，OC=7，S_{四边形BEDC}=56，求BC长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：在BC上找到M、N使得BM=BE，CN=CD，作BG⊥CE，交CE延长线于G点，易证△BOC面积是四边形BEDC面积一半．根据△BOC面积=

1

2

•OC•BG即可求得BG的值，根据∠BOG=45°可以判定△BOG等腰，根据BG、GC的长即可求得BC的长．

解答：解：在BC上找到M、N使得BM=BE，CN=CD，作BG⊥CE，交CE延长线于G点，

在△BEO和△BMO中，

BO=BO ∠EBO=∠MBO BE=BM

，
∴△BEO≌△BMO（SAS），
∴MO=OE，
同理△CDO≌△CNO（SAS），
∴MO=OE，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DOE=∠BOC=180°-

1

2

∠ABC-

1

2

∠ACB=135°，
∴∠DOC=∠EOB=45°，
∴∠EOD+∠MON=180°，
∴△MON面积等于△EOD面积，
∴△BOC面积=

1

2

×四边形BEDC面积，
∵

1

2

•OC•BG=

1

2

×56，
∴BG=8，
∵∠EOB=45°，BG⊥OG，
∴△BGO为等腰直角三角形，
∴GO=BG=8，
∴GC=GO+OC=15，
在RT△BGC中，BC=

BG2+CG2

=17．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△BOC面积是四边形BEDC面积一半是解题的关键．