Question

18．如图，在矩形OABC纸片中，OA=7，OC=5，D为BC边上动点，将△OCD沿OD折叠，当点C的对应点落在直线l：y=-x+7上时，记为点E，F，当点C的对应点落在边OA上时，记为点G．
（1）求点E，F的坐标；
（2）求经过E，F，G三点的抛物线的解析式；
（3）当点C的对应点落在直线l上时，求CD的长；
（4）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点E在直线l上，设出点E的坐标，由翻折的特性可知OE=OC，利用两点间的距离公式即可得出关于x的无理方程，解方程即可求出x值，在代入点E的坐标中即可得出点E、F的坐标；
（2）由OG=OC即可得出点G的坐标，根据点E、F、G的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）设点D的坐标为（m，5）（m＞0），则CD=m，利用ED=CD，FD=CD即可得出关于m的无理方程，解方程即可求出m的值，从而得出CD的长度；
（4）假设存在，设点P的坐标为（n，-n²+6n-5），由两点间的距离公式找出PE、PF、EF的长，根据三个角分别为直角，利用勾股定理即可得出关于n的方程，解方程即可求出n的值，再代入点P坐标即可得出结论．

解答 解：（1）∵点E在直线l：y=-x+7上，
∴设点E的坐标为（x，-x+7），
∵OE=OC=5，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（-x+7）^{2}}$=5，
解得：x₁=3，x₂=4，
∴点E的坐标为（3，4），点F的坐标为（4，3）．
（2）∵OG=OC=5，且点G在x正半轴上，
∴G（5，0）．
设经过E，F，G三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将E（3，4）、F（4，3）、G（5，0）代入y=ax²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=4}\\{16a+4b+c=3}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴经过E，F，G三点的抛物线的解析式为y=-x²+6x-5．
（3）∵BC∥x轴，且OC=5，
∴设点D的坐标为（m，5）（m＞0），则CD=m．
∵ED=CD或FD=CD，
∴$\sqrt{（3-m）^{2}+（4-5）^{2}}$=m或$\sqrt{（4-m）^{2}+（3-5）^{2}}$=m，
解得：m=$\frac{5}{3}$或m=$\frac{5}{2}$．
∴当点C的对应点落在直线l上时，CD的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$．
（4）假设存在，设点P的坐标为（n，-n²+6n-5），
∵E（3，4），F（4，3），
∴EF=$\sqrt{（4-3）^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，PE=$\sqrt{（n-3）^{2}+（-{n}^{2}+6n-5-4）^{2}}$，PF=$\sqrt{（n-4）^{2}+（-{n}^{2}+6n-5-3）^{2}}$．
以E，F，P为顶点的直角三角形有三种情况：
①当∠EFP为直角时，有PE²=PF²+EF²，
即（n-3）²+（-n²+6n-9）²=2+（n-4）²+（-n²+6n-8）²，
解得：n₁=1，n₂=4（舍去），
此时点P的坐标为（1，0）；
②当∠FEP为直角时，有PF²=PE²+EF²，
即（n-4）²+（-n²+6n-8）²=2+（n-3）²+（-n²+6n-9）²，
解得：n₃=2，n₄=3（舍去），
此时点P的坐标为（2，3）；
③当∠EPF为直角时，有EF²=PE²+PF²，
即2=（n-3）²+（-n²+6n-9）²+（n-4）²+（-n²+6n-8）²，
n⁴-12n³+54n²-109n+84=n⁴-4n³-8n³+32n²+22n²-88n-21n+84=（n-4）（n³-8n²+22n-21）=（n-4）（n³-3n²-5n²+15n+7n-21）=（n-4）（n-3）（n²-5n+7）=0，
∵在n²-5n+7=0中△=（-5）²-4×7=-3＜0，
∴n²-5n+7≠0．
解得：n₅=3（舍去），n₆=4（舍去）．
综上可知：在（2）中的抛物线上存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形，点P的坐标为（1，0）或（2，3）．

点评 本题考查了两点间的距离公式、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据OE=OC得出关于x的无理方程；（2）利用待定系数法求出抛物线解析式；（3）根据ED=CD（FD=CD）找出关于m的方程；（4）分三个角分别为直角三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，解决该题型题目时，利用翻折的性质以及两点间的距离公式找出方程是关键．