Question

20．如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，点D为斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于点E，将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F．如果△EFC是直角三角形，那么AD的长为$\frac{7}{5}$或5．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到AB=10，如图1，若∠CFE=90°，根据余角的性质得到∠1+∠2=∠B+∠A=90°，根据折叠的性质得到∠A=∠2，AE=EF，根据勾股定理得到AE=$\frac{7}{4}$，根据相似三角形的性质得到AD=$\frac{7}{5}$；当∠ECF=90°时，点F与B重合，得到AD=$\frac{1}{2}$AB=5；当∠CEF=90°时，根据平行线的性质得到∠AFE=∠B，推出AC=BC（与题设矛盾），这种情况不存在，于是得到结论．

解答 解：在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
如图1，若∠CFE=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=∠B+∠A=90°，
∵将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F，
∴∠A=∠2，AE=EF，
∴∠1=∠B，
∴CF=BC=6，
∵CE²=EF²+CF²，
∴CE²=（8-CE）²+6²，
∴CE=$\frac{25}{4}$，
∴AE=$\frac{7}{4}$，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD=$\frac{7}{5}$；
当∠ECF=90°时，点F与B重合，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5；
当∠CEF=90°时，
则EF∥BC，
∴∠AFE=∠B，
∵∠A=∠AFE，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC（与题设矛盾），
∴这种情况不存在，
综上所述：如果△EFC是直角三角形，那么AD的长为$\frac{7}{5}$或5．
故答案为：$\frac{7}{5}$或5．

点评 此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质，勾股定理，此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．