Question

10．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC上一点，∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF，②△DEF 是等边三角形，③△BEF是等腰三角形，④∠ADE=∠BEF，其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ②③④
• C． ①②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 连接BD，易证得△ADE≌△BDF，然后可证得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF．

解答 解：
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BDF}\\{AD=BD}\\{∠A=∠DBF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，AE=BF，故①正确；
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，故②正确；
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故④正确．
∵△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选D．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，构造三角形全等是解题的关键，注意题目中角之间的关系．