Question

如图，已知△ABC内接于圆O，AB是直径，D是AC弧上的点，BD交AC于E，AB=5，sin∠CAB=．
（1）设CE=m，，试用含m的代数式表示k；
（2）当AD∥OC时，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵AB=5，sin∠CAB=．
∴BC=3，AC=4，
∵CE=m，
∴AE=4-m，
∵∠DAE=∠DBC，
∴=，即=，即DE=，
∵=k，
∴=k，即BE²=，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²，即3²+m²=，
∴k=；

（2）∵AD∥OC
∴∠DAC=∠ACO
∵∠DAC=∠DBC
∴∠ACO=∠DBC
∵OA=OC
∴∠BAC=∠ACO
∴∠BAC=∠DBC
∵∠ACB=∠BCE
∴△ACB∽△BCE
∴=
∴CE=BC×
∵BC=3 AC=4
∴CE=，即m=．
分析：（1）先根据圆周角定理及直角三角形的性质求出AC及BC的长，再由CE=m可知AE=4-m，由∠DAE=∠DBC可得出DE=，代入=k即可用k、m表示出BE的长，再根据△ABC是直角三角形根据勾股定理即可用m表示出k；
（2）由AD∥OC得出∠DAC=∠ACO，根据∠DAC=∠DBC，可知∠ACO=∠DBC，由OA=OC可知∠BAC=∠ACO，故∠BAC=∠DBC
由相似三角形的判定定理得出△ACB∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．