Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＞CD，对角线AC、BD交于点O，OE⊥BC于E．
（1）若BC=AB+CD，求证：CD=CE；
（2）取BC的中点F，若BC=10，OE+OF=5，求AB+CD的值．

Answer 1

（1）证明：∵CD∥OE∥AB，
∴=①，=②，
∴①+②得：+=1，
∴OE==，
代入①得=，
∴CD=CE．

（2）解：设EF=x，则BE=5+x，CE=5-x，
∴==，
∴AB=OE，
同理CD=OE，
∴AB+CD=OE，
∵OE²+EF²=OF²，
即OE²+x²=（5-OE）²，
∴OE=，
∴AB+CD=10．
分析：（1）由CD∥OE∥AB得到=①，=②，然后①+②得+=1，然后变形得到OE==，接着利用BC=AB+CD即可求解；
（2）设EF=x，则BE=5+x，CE=5-x，代入①得到AB=OE，同理CD=OE，接着得到AB+CD=OE，再利用勾股定理OE²+EF²=OF²得到OE=，由此即可证明AB+CD=10．
点评：本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键，然后避免错选其他答案．