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【题目】如图,在平面直角坐标系中,ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.

(1)、求b,c的值;

(2)、点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;

(3)、在(2)的条件下:求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;在抛物线上是否存在一点P,使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)、b=-2;c=-3;(2)、();(3)、

【解析】

试题分析:(1)、根据题意求出点A、点B的坐标,然后代入解析式求出b、c的值;(2)、射线求出直线AB的解析式,设出点E和F的坐标,求出EF的长度,然后根据函数的性质求出最值;(3)、首先求出点D和点F的坐标,将四边形的面积转化成BEF和DEF进行求解;过点E作aEF交抛物线与点P,设出点P的坐标,解出方程;过F作bEF交抛物线与点P,设出点P的坐标,解出方程.

试题解析:(1)由已知得:A(-1,0) B(4,5)二次函数y=+bx+c的图像经过点A(-1,0)B(4,5)

解得:b=-2 c=-3

(2)、如图:直线AB经过点A(-1,0) B(4,5) 直线AB的解析式为:y=x+1

二次函数y=-2x-3 设点E(t,t+1),则F(t,-2t-3)

EF=(t+1)-(-2t-3)=

时,EF的最大值= 点E的坐标为(

如图:

顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.

可求出点F的坐标(),点D的坐标为(1,-4)

S=S+S

==

如图:)过点E作aEF交抛物线于点P,设点P(m,)则有:解得:, ,

)过点F作bEF交抛物线于,设(n,)则有:

解得: (与点F重合,舍去)

综上所述:所有点P的坐标:能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形.

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图1 图2

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(1)如图2,求出抛物线完美三角形斜边AB的长;

抛物线完美三角形的斜边长的数量关系是

(2)若抛物线完美三角形的斜边长为4,求a的值;

(3)若抛物线完美三角形斜边长为n,且的最大值为-1,求m,n的值.

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