【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.
(1)、求b,c的值;
(2)、点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)、在(2)的条件下:①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)、b=-2;c=-3;(2)、(,);(3)、;,(
【解析】
试题分析:(1)、根据题意求出点A、点B的坐标,然后代入解析式求出b、c的值;(2)、射线求出直线AB的解析式,设出点E和F的坐标,求出EF的长度,然后根据函数的性质求出最值;(3)、首先求出点D和点F的坐标,将四边形的面积转化成△BEF和△DEF进行求解;过点E作a⊥EF交抛物线与点P,设出点P的坐标,解出方程;过F作b⊥EF交抛物线与点P,设出点P的坐标,解出方程.
试题解析:(1)由已知得:A(-1,0) B(4,5)∵二次函数y=+bx+c的图像经过点A(-1,0)B(4,5)
∴ 解得:b=-2 c=-3
(2)、如图:∵直线AB经过点A(-1,0) B(4,5) ∴直线AB的解析式为:y=x+1
∵二次函数y=-2x-3 ∴设点E(t,t+1),则F(t,-2t-3)
∴EF=(t+1)-(-2t-3)=
∴当时,EF的最大值= ∴点E的坐标为(,)
①如图:
顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.
可求出点F的坐标(,),点D的坐标为(1,-4)
S=S+S
==
②如图:ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)则有:解得:, ∴,
ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于,设(n,)则有:
解得: ,(与点F重合,舍去)∴
综上所述:所有点P的坐标:,(能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)如图1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
图1 图2
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:如图1,抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B(点A在点B左侧),根据对称性△AMB恒为等腰三角形,我们规定:当△AMB为直角三角形时,就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.
(1)①如图2,求出抛物线的“完美三角形”斜边AB的长;
②抛物线与的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ;
(2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4,求a的值;
(3)若抛物线的“完美三角形”斜边长为n,且的最大值为-1,求m,n的值.
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