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    已知二次函数y=mx2+nx+2图象的顶点横坐标是
    3
    2
    ，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，且△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．
    （1）求这个抛物线的解析式；
    （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线BC于N，交这个抛物线于M，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
    （3）在（2）的情况下，以C、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
    考点：二次函数综合题
    专题：压轴题
    分析：（1）令x=0求出点C的坐标，设OA=a，根据二次函数的对称性表示出OB，然后根据△AOC和△COB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出a，然后求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
    （2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出MN，再利用二次函数的最值问题解答；
    （3）根据平行四边形的对边平行且相等，分CM、CN是对角线时，点D在y轴上求出OD的长，然后写出点D的坐标即可，求出MN的中点的坐标，再根据平行四边形的中心对称性求出MN是对角线时的点D的坐标．
    解答：解：（1）令x=0，则y=2，
    ∴点C坐标为（0，2），OC=2，
    设OA=a，∵顶点横坐标是
    3
    2
    ，
    ∴OB=（
    3
    2
    +a）+
    3
    2
    =a+3，
    ∵△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
    ∴△AOC∽△COB，
    ∴
    OA
    OC
    =
    OC
    OB
    ，
    即
    a
    2
    =
    2
    a+3
    ，
    整理得，a2+3a-4=0，
    解得a1=1，a2=-4（舍去），
    a+3=1+3=4，
    ∴点A（-1，0），B（4，0），
    ∴
    m-n+2=0
    16m+4n+2=0
    ，
    解得
    m=-
    1
    2
    n=
    3
    2
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2；

    （2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
    则
    b=2
    4k+b=0
    ，
    解得
    k=-
    1
    2
    b=2
    ，
    ∴直线BC的解析式为y=-
    1
    2
    x+2，
    由题意得，点M、N的横坐标都是t，
    ∴MN=-
    1
    2
    t2+
    3
    2
    t+2-（-
    1
    2
    t+2）=-
    1
    2
    t2+2t=-
    1
    2
    （t-2）2+2，
    ∵a=-
    1
    2
    ＜0，
    ∴当t=2时，MN有最大值，最大值为2；

    （3）当t=2时，M（2，3），N（2，1），
    ∴MN=3-1=2，
    当CM是平行四边形对角线时，CD=MN=2，
    ∴OD=2+2=4，
    点D的坐标为（0，4），
    当CN是平行四边形的对角线时，CD=MD=2，
    ∴OD=2-2=0，
    点D与点O重合，坐标为（0，0），
    当MN是平行四边形的对角线时，MN的中点坐标为（2，2），
    设点D的坐标为（x，y），
    则
    0+x
    2
    =2，
    2+y
    2
    =2，
    解得x=4，y=2，
    ∴点D的坐标为（4，2），
    综上所述，以C、M、N、D为顶点作平行四边形，点D的坐标为（0，4）或（0，0）或（4，2）．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，平行四边形的对边平行且相等的性质，平行四边形的中心对称性，难点在于（3）根据三角形的三边为平行四边形对角线分情况讨论．
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    		3
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    		2
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