Question

16．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=2，则CD的长为3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作BM⊥CF于M，则∠BMD=90°，由勾股定理得出BC=$\sqrt{3}$AC=2$\sqrt{3}$，由平行线的性质得出∠BCM=∠ABC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出MB=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，求出MC=3，再证明△BMD是等腰直角三角形，得出DM=MB=$\sqrt{3}$，CD=MC-DM，即可得出结果．

解答 解：作BM⊥CF于M，如图所示：
则∠BMD=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=$\sqrt{3}$AC=2$\sqrt{3}$，
∵AB∥CF，
∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴MB=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴MC=$\sqrt{3}$BM=3，
∵∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∴DM=MB=$\sqrt{3}$，
∴CD=MC-DM=3-$\sqrt{3}$；
故答案为：3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，难度适中．