Question

2．如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB=2$\sqrt{3}$，点E在边AB上，点D在边BC上，且满足∠AED=∠C，连接AD，若∠ADE=∠BAC．给出下列结论：①AD=BD；②AE=CD；③△BDE∽△ADB；④$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$．其中正确的结论有①②④（把所有正确结论序号都填在横线上）

Answer 1

分析 过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥AB于N，根据三角形的内角和得到∠BAC=105°，由已知条件求出∠BAD=30°，于是得到∠B=∠BAD，证得AD=BD，故①正确；解直角三角形得到AM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，求出CD=DM+CM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，AE=AN+NE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，于是得到AE=CD，故②正确；根据已知条件得到∠BDE=∠AED-∠B=15°，于是得到△BDE与△ADB不相似，故③错误；分别求出S_△ABC，S_△ADE，由于$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$，故④错误．

解答 解：过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥AB于N，
∵∠B=30°，∠C=45°，
∴∠BAC=105°，
∵∠ADE=∠BAC=105°，∠AED=∠C=45°，
∴∠BAD=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD，故①正确；
∵AB=2$\sqrt{3}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°，
∴AD=2，DM=1，CM=AM=$\sqrt{3}$，
∴CD=DM+CM=1$+\sqrt{3}$，
∵DN⊥AE，∠EAD=30°，∠DEA=45°，
∴AN=AM=$\sqrt{3}$，EN=DN=1，
∴AE=AN+NE=1+$\sqrt{3}$，
∴AE=CD，故②正确；
∵∠BDE=∠AED-∠B=15°，
∴∠BDE≠∠BAD，
∴△BDE与△ADB不相似，故③错误；
∵AB=2$\sqrt{3}$，AM=$\sqrt{3}$，M=1，AD=BD=2，
∴S_△AED=$\frac{1}{2}$×1×（$\sqrt{3}$+1）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×（3+$\sqrt{3}$）=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$，故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内角和，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．