Question

11．如图，已知反比例函数y=$\frac{m}{x}$与一次函数y=kx+b的图象相交于A（4，1）、B（a，2）两点，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为C、E．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点D的坐标为（1，0），求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标代入反比例函数解析式，求得m、a的值；然后把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式来求k、b的值；
（2）求出直线BD的解析式为：y=2x-2，证得AB⊥BD，根据两点间的距离公式得到BD=$\sqrt{（2-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{（4-2）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$上，
∴m=xy=4×1=4，
∴y=$\frac{4}{x}$．
把B（a，2）代入y=$\frac{4}{x}$，得
2=$\frac{4}{a}$，
∴a=2，
∴B（2，2）．
∵把A（4，1），B（2，2）代入y=kx+b
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=4k+b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；

（2）过A作AE⊥x轴于E，
设直线BD的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=2m+n}\\{0=m+n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=2x-2，
∵直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+3；
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∵BD=$\sqrt{（2-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{（4-2）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，三角形的面积，正确的识图是解题的关键．