Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=2AB=2AD=4．以AB为直径作⊙O，点P在梯形内的半圆弧上运动，则△CPD的最小面积是

3-

2

．

Answer 1

分析：首先过点O作OE⊥CD交CD的延长线于E，OE交⊙O 于P，则△PCD就是所求的三角形，连接OC、OD，过点D作DF⊥BC于点F，由直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=2AB=2AD=4．易求得△OCD的面积与CD的长，继而求得OE的长，则可求得PE的长，继而求得△CPD的最小面积．

解答：解：过点O作OE⊥CD交CD的延长线于E，OE交⊙O 于P，则△PCD就是所求的三角形，连接OC、OD，过点D作DF⊥BC于点F，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠BFD=90°，
∴四边形ABDF是矩形，
∴BF=AD，DF=AB，
∵BC=2AB=2AD=4，
∴AD=AB=2，
∵以AB为直径作⊙O，
∴OA=OB=1，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AB=

1

2

×（2+4）×2=6，S_△OAD=

1

2

OA•AD=

1

2

×1×2=1，S_△OBC=

1

2

OB•BD=

1

2

×1×4=2，
∴S_△ODC=S_梯形ABCD-S_△OAD-S_△OBC=6-1-2=3，
在Rt△DFC中，CF=BC-BF=4-2=2，DF=AB=2，
∴CD=

DF2+CF2

=2

2

，
∵S_△OCD=

1

2

CD•OE=3，
∴OE=

3

2

2

，
∴PE=OE-OP=

3

2

2

-1，
∴S_△CPD=

1

2

CD•PE=

1

2

×2

2

×（

3

2

2

-1）=3-

2

．
故答案为：3-

2

．

点评：此题考查了直角梯形的性质、切线的性质、矩形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是找到符合题意的P点，注意掌握数形结合思想的应用．